Traiettorie della regolite - Rooster Tails

Riprendo qui il discorso in merito alla traiettoria balistica delle particelle di regolite iniziata qui:
www.luogocomune.net/32-le-grandi-cospira...oblem#comment-134613

Ho avuto modo di visionare il documento citato da Moon and Beyond, il "Tracking Lunar Dust - Analysis of Apollo Footage" di H.-W.Hsu e M. Horanyi che mi ha dato conferma di quanto già da me verificato. Qui potete trovare un estratto con i dati da loro usati e tutte le screencap: ftp.aip.org/epaps/am_j_phys/E-AJPIAS-80-011295/



Tuttavia, riguardando le clip video al rallentatore, non riuscivo a vedere questi moti parabolici che "fuggivano" via dalla ruota posteriore del rover. Anzi, vedevo si le famose "rooster tails", ma con sviluppo inverso a quanto ci si aspetterebbe.

Quello che ci si aspetterebbe infatti si può spiegare banalmente con l'immagine seguente (viene fatta la stessa dimostrazione anche in American Moon con una clip video):



Specifico che nell'immagine sopra, per semplicità ho indicato solo una traiettoria omettendo tutte le altre che nella realtà sono invece presenti e sono tante quante le particelle alzate dalle ruote (in American Moon invece la tesi è che tutte le particelle avrebbero dovuto avere più o meno la medesima traiettoria).
Ora vediamo questa immagine:



Se poniamo l'attenzione sulla roccia sullo sfondo dietro al Lunar Rover (la roccia è indicata con una freccia rossa nell'immagine) potremo notare una cosa particolare guardando la seguente gif:



Le particelle di regolite alzate dalla ruota posteriore del rover non si muovono verso destra, ma anzi, le particelle più "basse" si muovono solo verso l'alto, mentre quelle più "alte", oltre ad elevarsi disegnano una
traiettoria si parabolica, ma in direzione rover, dalla parte opposta a quanto verrebbe da pensare.



Anche in questa immagine ho evidenziato un'unica traiettoria per semplicità.

Ora, perchè accade tutto ciò?

La spiegazione è abbastanza semplice: il rover si muove con velocità v=2,5 m/s (circa 9,00 km/h, velocità misurata prendendo come riferimento la dimensione delle ruote del rover che hanno un diametro da 81,8 cm e del passo del rover che ha dimensione pari a 2,30 m e le rocce sulla scena che ovviamente stanno ferme), le particelle di regolite vengono alzate da una ruota in movimento verso sinistra (quindi non ferma che gira a "vuoto"), per cui per l'osservatore (noi) il "sistema rover-ruote-regolite alzata dalle ruote" è un sistema che trasla con una determinata velocità.
Se ci trovassimo in quel "sistema" allora le traiettorie sarebbero effettivamente come la balistica insegna.
Trovandoci invece al di fuori di quel sistema in movimento, ciò che noi vediamo è la balistica con moto però influenzato dalla traslazione di quel sistema istante per istante.
Il risultato è che per ogni coordinata X delle traiettorie paraboliche delle particelle va detratta una vΔt dovuta alla velocità del rover.
Nel grafico e nella tabella seguente, considerando una velocità iniziale della regolite pari a 2,7 m/s dovuta presumibilmente a un leggero slittamento della ruota nella polvere (mi sono fidato dello studio "Tracking Lunar Dust - Analysis of Apollo Footage" di H.-W.Hsu e M. Horanyi di cui sopra per questo dato) si possono vedere le traiettorie "corrette" per il nostro punto di vista e i dati delle coordinate traslate.




E' importante evidenziare che questo fenomeno dipende molto dalla velocità del mezzo in movimento e dalla velocità tangenziale delle ruote.
Se ad esempio il mezzo è fermo ma le ruote slittano nella polvere, l'osservatore vedrà delle rooster tail "canoniche" con direzione che fugge dalla ruota e dal mezzo, mentre se il mezzo è in movimento con velocità v=v1 e le ruote hanno una velocità tangenziale vt=v1 quindi uguale a quella del mezzo (per cui le ruote non slittano), l'osservatore vedrà delle "reverse" rooster tail, cioè traiettorie paraboliche che si sviluppano nella medesima direzione del mezzo. In tutte le situazioni intermedie, avremo invece che le traiettorie più basse tenderanno a svilupparsi con X+ positive, mentre quelle più alte con X- negative.

Faccio notare anche che le rooster tail sono più evidenti nei primi istanti in quanto, come si può notare dal grafico sopra, le particelle percorrono un primo tratto di traiettoria molto simile, poi man mano le traiettorie si differenziano sempre più e la regolite sembra come dissolversi proprio perchè non più tutta "raggruppata".

Detto ciò, tale comportamento non è assolutamente esclusivo lunare, anzi, lo si può ben notare anche sulla terra:





Ciò che però indica una gravità ridotta è la quota raggiunta dalla regolite per velocità così basse e il tempo impiegato dalle particelle per percorrere tali traiettorie (come avevo già spiegato nell'altro post). Per raggiungere quelle quote il rover, o almeno la velocità tangenziale delle ruote avrebbe dovuto essere di almeno 24 km/h (circa 6,7 m/s), quasi 3 volte superiore a quella effettiva del rover.

Aggiungo che quanto appena descritto è in pratica un'introduzione alla teoria della relatività.
Un esempio semplice per capire meglio di quanto detto sopra potrebbe essere:

Si pensi a un giocatore di basket che corre con velocità costante v con un pallone in mano. Ad un istante t0 il giocatore lancia la palla in verticale, la palla raggiunge la quota massima all'istante t1, quindi il pallone ricade e il giocatore la riprende in mano all'istante t2.
Ora poniamoci come osservatori del giocatore che per noi corre da sinistra verso destra ad esempio. Nell'istante t0 il giocatore si trova in posizione x0 e lancia la palla in verticale, la palla raggiunge la quota massima all'istante t1, ma la palla in t1 non si trova più nella medesima posizione dell'istante t0, bensì in posizione x1=x0+v(t1-t0).
La palla ricadendo viene ripresa in mano dal giocatore all'istante t2, la palla e il giocatore ora si trovano in x2=x1+v(t2-t1).
Se il nostro punto di vista fosse quello del giocatore, avremmo visto la palla percorrere un moto rettilineo verticale, da osservatori esterni invece il moto del pallone ci appare parabolico, con inizio all'istante t0 e posizione x0, vertice in x1 al tempo t1 e fine all'istante t2 e posizione x2.

A me verrebbe però da dire " e quindi ? "

3Doubt

Ho accettato il tuo invito generale a seguirti qui, ed eccomi arrivato. Solo un secondo, il tempo di mettermi la toga dell'Avvocato del Diavolo e comincio a fare il Satan biblico della pubblica accusa :laugh:

Bene. Innanzitutto non capisco se gli autori di Tracking Lunar Dust - Analysis of Apollo Footage (universitari a quanto vedo), abbiano studiato la stessa fisica che ho studiato io. Rimane l'ipotesi che stia prendendo una cantonata enorme e che mi aspetti un bagno catartico in un mare di umiltà... :hammer:

...ma da quando l'accelerazione di gravità apporta un contributo positivo alla quota in un moto balistico???

Una volta scelto quel sistema di riferimento con X e Z positive, non è ammissibile un ipotetico errore di stampa sulla formuletta elementare che sta alla base di tutto il ragionamento, a me viene il sospetto che tutto il conteggio possa essere sbagliato, visto che la formula andrebbe scritta così (con y al posto di z) :

da : www.youmath.it/lezioni/fisica/cinematica...-del-proiettile.html
ed infatti nelle formule interpolate di Z(t) gli esce il segno meno...quindi almeno il calcolo pratico non è sbagliato. Ma c'è dell'altro, e forse sì o forse no, c'è la tua mano di mezzo... :laugh:
E perché lo dico, al di là della svista o l'errore di stampa? Perché nel moto rototraslatorio di una ruota, la velocità periferica assoluta del punto di contatto con il suolo di una ruota in movimento soggetta ad attrito statico è zero

perché il punto di contatto con il suolo è istantaneamente fermo rispetto a quest'ultimo
www.openfisica.com/fisica_ipertesto/openfisica3/rotolamento.php
Quindi tutto il ragionamento tra i 2,5 m/s ed i 2,7 m/s dovuti al leggero slittamento non ha alcun senso per me, se posto nei termini in cui è stato esposto. Cioè, non si può partire dalla velocità di 2,5 m/s dell'asse (e quindi del rover) e giustificare gli 0,2 m/s in più ricavati dalle immagini in funzione dello slittamento e basta, perché il punto di contatto, se non slittasse, non viaggerebbe a 2,5 m/s verso il retro del rover, ma sarebbe fermo rispetto al suolo, visto che è il suolo ad essere il sistema di riferimento inerziale usato per calcolare i 2,5 m/s.
In soldoni : la velocità periferica in quel punto, in questo sistema di riferimento e per questo moto non può essere superiore a quella del suo asse, in nessun caso. O è zero in condizioni ideali (e quindi non si alzerebbe nemmeno polvere se trascurassimo tutti gli attriti vari, ma lasciamo stare), o sarebbe 2,5 m/s in caso di ruota fissa ma libera di ruotare alla stessa velocità angolare e senza attriti. Questo sarebbe un errore concettuale, oppure io sto dicendo cazzate e gli universitari hanno ragione, o invece ho capito male tutto il tuo discorso.
Inoltre dalla tabella

si vede che dalla clip 2 (che poi è invece la parte iniziale del filmato allegato) è stata ricavata una velocità della regolite di 4,2 m/s, il che mi lascia ancora più perplesso, a meno che il rover non facesse girare le ruote a quasi al doppio della velocità stimata di 2,6 m/s, cioè quasi 5 m/s, e localmente sia finito in una fossa in cui la ruota abbia slittato molto di più, trasferendo buona parte della sua velocità periferica di 5 m/s alla regolite invece che all'asse di rotazione (ma dalla tabella sembra che il limite sia 4,8 m/s), tant'è che subito dopo rallenta nella clip 1 (che è la seconda metà del video, quella con i 2,7 m/s della regolite) finché non si ferma.
Non so se mi sono spiegato, spero di sì.

Ora, dando per scontato che i dati ricavati ed interpolati per ricavare l'equazione che riconduce ad 1,5 m/sec^2 di gravità lunare siano corretti, cerchiamo di vedere se né io e né gli autori dello studio diciamo fesserie e ci possa essere un terza via più coerente (o quella malefica :laugh:) : il rover evidentemente viaggiava in costante slittamento, quindi in presenza di attrito statico e dinamico, il che giustifica perché 2,7 m/s sia maggiore di 2,5 m/s. Probabilmente il motore era a manetta o quasi (visti i 4,8 max attesi in tabella), ma lo slittamento faceva perdere almeno quasi la metà della velocità teoricamente disponibile in condizioni ideali (diciamo 4,8 - 2,4 = 2,4 quindi ritroviamo i 2,5 m/s circa di prima), ma dalla clip 2 abbiamo visto che localmente/istantaneamente può perdere anche di più (con regolite a 4,2 m/s) pur viaggiando in media a 2,6 m/s.

Il problema dove sta(rebbe)? Sta(rebbe) nel fatto che se loro misurano la velocità del rover in funzione dell'interasse e dei punti fissi (le rocce), allora fanno un calcolo sui tempi (spazio/tempo) dei frame video. Se i frame video ipoteticamente fossero rallentati al punto giusto, le velocità sono quelle che trovano. Ma se per ipotesi invece riproducessimo il filmato al doppio della velocità? Allora avrei un rover che va a 4,8 x 2 = 9,6 m/s teorici (stessi spazi in tempi dimezzati), e seguendo tutti i ragionamenti di cui sopra troveremmo anche una velocità periferica nel clip 2 di 4,2 x 2 = 8,4 m/s, cosa che rapportata alla gravità terrestre

Per raggiungere quelle quote il rover, o almeno la velocità tangenziale delle ruote avrebbe dovuto essere di almeno 24 km/h (circa 6,7 m/s), quasi 3 volte superiore a quella effettiva del rover

ci farebbe stare ampiamente dentro i 6,7 m/s periferici da te ricavati per certe alte quote sulla Terra.
Ad una velocità di riproduzione di 1,6x, però, abbiamo invece una velocità di 4,2 x 1,6 = 6,7 m/s, la tua di riferimento, e ferme restando tutte le interpolazioni spazio/tempo ricavate dalle posizioni della regolite in volo (che cambierebbero con i nuovi tempi ridotti), avremmo che il rover doveva far girare le ruote ad appena 4,8 x 1,6 = 7,68 m/s cioè 27 km/hr, che con gli slittamenti sarebbero in media 2,5 x 1,6 = 4 m/s di velocità cioè 14,4 km/hr, equivalente a quella di una corsetta, quindi niente di eccezionale pur avendo le stesse quote esaminate nei grafici in ambedue le clip.

Concludendo : a mio modesto avviso, facendo un discorso di parte in cui dichiaro apertamente di mettermi dalla parte dell'accusa, l'analisi fatta su questi frame video non è conclusiva, in quanto lascia aperta l'ipotesi, seppur maliziosa ma non impossibile, che riproducendo il filmato ad 1,6x, si ottengano risultati compatibili con quote Z ottenibili con gravità terrestre (almeno secondo i tuoi calcoli) senza nemmeno ricorrere ad una significativa differenza macroscopica di velocità finale del rover ( 9 km/hr vs. 14 km/hr ).
Rimarrebbe da verificare però che non solo le quote ma anche i tempi necessari a raggiungerle siano compatibili con il calcolo teorico balistico a gravità terrestre. E sarebbe interessante vedere che valore di gravità ne uscirebbe fuori rifacendo le loro interpolazioni con i nuovi valori dei tempi.

Beati loro che hanno dietro delle università che li pagano pure (e bene, visto che non sono italiane!!) per il tempo impiegato a divertirsi con questi giochetti.
Io, invece, "dietro" ho soltanto dei cetrioli che volano basso, ed ogni tanto mi concedo solo il poco (!) tempo necessario a divertirmi un po' a fare il ruolo del cattivo in questo ambito, per cui non ci penso proprio a mettermi frame per frame a rifare tutto il loro lavoro.

E se poi alla fine avessi pure torto e non mi tornassero i tempi o la gravità ricavata??

Sarebbe tutto tempo perso :cry:

E se pure avessi piena ragione, avrei dalla mia solo un filmato che ho deliberatamente riprodotto a maggior velocità, mistificando a mio (!) vantaggio la realtà immutabile della veridicità della fonte.

Mi tolgo la toga da avvocato, va...che fa caldo :laugh:

Scusa @3Doubt ma non si capisce perchè devi incasinare in questo modo un discorso piuttosto semplice. Il sistema di riferimento per valutare se le traiettorie siano paraboliche o meno è quello naturalmente individuato dalla ruota del veicolo lunare, o se vogliamo dal parafango, come d'altronde fanno gli autori dell'articolo che citi:



Tra parentesi nemmeno per un istante i suddetti autori mettono in dubbio che la polvere sollevata dal rover si muova su traiettorie paraboliche*, traiettorie che sulla terra in generale paraboliche non sarebbero. In ogni caso questo sistema di riferimento non solo è più che legittimo dal punto di vista fisico (come ci insegna Galileo), ma è anche il più naturale dato che la telecamera segue il rover, che è sempre più o meno al centro dell'inquadratura, dunque è il riferimento effettivo di noi osservatori (che attraverso la telecamera guardiamo la scena).

Non solo. Le traiettorie si sviluppano nel tempo, quindi in un singolo fotogramma non vedi nessuna traiettoria di una singola particella, ma se mai vedi un istante della traiettoria di molte particelle. Tuttavia, dato che la sorgente di questo flusso è sempre la ruota, e dato che se il veicolo si muove a velocità costante la coordinata x è funzione lineare del tempo, il risultato è che -rispetto al riferimento che segue il veicolo- dovrebbe essere effettivamente possibile vedere un getto parabolico in ogni singolo fotogramma. Rispetto a un riferimento fisso col terreno invece non potresti vedere nulla di tutto ciò. Quindi il discorso sulle traiettorie balistiche "corrette" sottraendo la traslazione del rover non ha nessun senso in questo discorso.

Detto questo, il problema sono quegli sbuffi di polvere che sembrano restare in sospensione. In presenza di atmosfera avviene una naturale separazione fra particelle fini e grani più grossi, le prime restano in sospensione e formano gli sbuffi di polvere, i secondi invece seguono una traiettoria molto più simile a una parabola. Sulla luna questo "setaccio" dovuto all'attrito dell'aria non dovrebbe esserci, quindi dovremmo vedere nuvolette di materiale eterogeneo piuttosto che sbuffi di polvere. Inoltre questa polvere dovrebbe ricadere al suolo nello stesso tempo impiegato ad alzarsi, altra cosa che in presenza di atmosfera non accade.

Per quanto riguarda le traiettorie teoriche, facendo alcune assunzioni semplificative, e cioè che:
1) le particelle si stacchino dallo stesso punto della ruota;
2) abbiano tutte velocità iniziale uguale in modulo;
3) non ci siano angoli di distacco (e quindi direzioni della velocità iniziale) privilegiati;
4) questi angoli siano compresi tra 0° e 60°;
risulta il seguente grafico:



Un breve commento sulle ipotesi. La 1) equivale a ridurre la ruota ad un singolo punto, cosa che di per sè sembrerebbe ipotesi alquanto fuorviante, però in realtà la posizione iniziale del distacco non è così rilevante, dato che non causa nessun effetto di dispersione, cioè particelle che hanno uguale velocità iniziale ma separate da una certa distanza mantengono traiettorie separate da tale distanza. Si potrebbe comunque eliminare complicando i calcoli (cosa che non ho voglia di fare). L'ipotesi 2) è abbastanza naturale e non richiede spiegazioni, la 3) e la 4) sono semplicemente la giustificazione al fatto che nel grafico ho messo tutte possibili traiettorie in quell'intervallo, anche se sicuramente in certi casi esistono angoli di distacco privilegiati, e dunque triettorie "più battute" di altre.

A proposito di traiettorie battute, come si vede nel grafico si forma una specie di "rostro" sulla destra, non lo confonderei però con i tui "rooster tail", che direi più che altro generati da fenomeni di slittamento uniti al fatto che le ruote sono tassellate. Però questo "rostro" teorico ci porta a riflettere su quella che può essere la dispersione della scia, che invece di farsi più evanescente man mano che ricade a terra dovrebbe invece avere degli evidenti punti di addensamento, sempre nell'ipotesi di assenza di atmosfera.

*Nell'articolo da te linkato si parte dall'ipotesi di traiettoria parabolica, poi a quanto ho capito, individuando le parabole tangenti al getto di polvere fotogramma per fotogramma, desumono i valori di gravità lunare, velocità ruota e velocità rover, il tutto con approssimazione piuttosto ampia (+/- 20% per la gravità lunare!).

@3Doubt
Aggiungo qualche considerazione sulle cosiddette "roster tail", che tu confondi con le traiettorie paraboliche delle particelle. Il grafico che ho postato sopra, tracciato nelle ipotesi 1)-4), si ricava formalmente dalle seguenti espressioni di x e z:

x = v*cos(φ)*t
z = v*sin(φ)*t + g/2*t²

dove φ è l'angolo della velocità iniziale rispetto al terreno, v il modulo della velocità iniziale e g l'accelerazione di gravità (che naturalmente sarà da considerarsi negativa, nel caso della luna -1.62 m/s²). Dato che mi interessava solo un'analisi qualitativa, ho posto le due costanti uguali a uno (-1 l'accelerazione, per essere precisi). Quindi le equazioni qui sopra descrivono una famiglia di parabole, parametrizzate dall'angolo della velocità iniziale φ, al variare del quale si ottengono tutte le possibili traiettorie. Come già detto mi sono fermato arbitrariamente a 60°, un po' perchè cifra (angolare) tonda, un po' perchè mi sembra abbastanza plausibile, e un po' perchè così si può vedere l'effetto di sovrapposizione delle traiettorie. Infatti come è noto la traiettoria dalla gittata massima si ha per φ=45°, per angoli superiori le gittate si accorciano e inizia ad esserci sovrapposizione.

Osservando le equazioni sopra però si nota che x e z sono funzioni ora di due variabili, φ e t. Io ho postato un grafico ottenuto fissando di volta in volta la variabile φ, cioè ho tracciato le curve:

x = x(φ_i,t)
z = z(φ_i,t)

con φ_i che per la prima curva valeva 1°, per la seconda 2°, e così via. Ma se invece fissiamo gli istanti di tempo t_i e facciamo variare con continuità l'angolo φ, otteniamo una nuova famiglia di curve, ognuna delle quali sarà stavolta funzione dell'angolo:

x = v*cos(φ)*t_i
z = v*sin(φ)*t_i + g/2*t_i²

con i t_i che assumono valori discreti in un opportuno intervallo. Per esempio per t_i=1 abbiamo:

x = v*cos(φ)
z = v*sin(φ) + g/2

che si riconosce subito essere un arco di circonferenza. Lo stesso vale per ogni altro possibile valore di t, e in definitiva abbiamo la situazione seguente:



Qui per maggiore chiarezza ho considerato angoli φ nel range 30°- 60°, come si vede ci sono ancora tutte le traiettorie paraboliche del grafico dell'altra volta, e ci sono anche le nuove traiettorie costituite da archi di circonferenza. I due fasci di curve individuano la stessa superficie.

Tornando ai nostri getti di polvere, qual è l'interpretazione di questo fascio di archi che si sovrappone al fascio di parabole? é semplicemente la configurazione, istante per istante, del getto di particelle espulse nel medesimo momento. Quindi per il nostro valore particolare t=1, la cui curva corrispondente è data sopra, abbiamo la configurazione delle particelle espulse dalla ruota un secondo fa. Quando l'espulsione di particelle non è continua nel tempo, ma avviene a getti discontinui (situazione che avviene naturalmente per i motivi più svariati, come dicevo nel commento precedente per via della tassellatura, le ruote che affondano e riemergono da dune/dossi, ecc.), ecco che si formano dei getti a forma di arco distanziati da un certo intervallo, insomma una figura che assomiglia al simbolo del wifi, e il tutto è visibile in un singolo fotogramma, se scattiamo una foto, perchè queste curve non si sviluppano nel tempo.

Le "roster tail" di cui parli hanno questa origine, solo un po' più complicata, perchè in questo caso le dimensioni della ruota non sono trascurabili. Ipotizzando allora che la velocità iniziale (sempre uguale in modulo per tutte le particelle espulse) sia tangente alla ruota*, abbiamo le nuove equazioni:

x = R*sin(φ) + v*cos(φ)*t
z = R - R*cos(φ) + v*sin(φ)*t + g/2*t²

dove la nuova costante R è il raggio della ruota. Sostituendo alle costanti i valori che si ricavano dall'articolo, cioè R=0.41 m, v=2.7 m/s, g=-1.62 m/s, otteniamo i seguenti fasci di curve:




Il primo è quello delle traiettorie paraboliche, il secondo quello delle "roster tail", il terzo una sovrapposizione parziale. Avendo considerato i valori corretti per le costanti, i valori degli assi esprimono i metri delle dimensioni delle scie. Nel caso in cui il getto di polvere dalla ruota avvenga in maniera discontinua, che poi è il nostro caso, quello che sarà effettivamente visibile nelle immagini sarà una cosa del tipo del secondo grafico, ovviamente il numero di curve presenti dipende da quanti getti successivi sono visibili. Tuttavia queste curve sono sempre e solo archi di circonferenza, mai parabole, quello che ha andamento parabolico è la curva tangente al getto, cioè la parabola più in alto del primo e terzo grafico, che è quella che usano gli autori dell'articolo per le loro stime.

Tutto questo vale chiaramente in assenza di atmosfera, le immagini "terrestri" da te postate evidenziano un fenomeno simile solo nella parte iniziale, più vicina alla ruota, in quella finale la presenza di atmosfera oltre ad accorciare tutte le traiettorie opera quella differenziazione fra polvere e materiale meno fine di cui parlavo nel commento sopra, in particolare l'immagine della moto sulle dune è piuttosto chiara.


*Anche questa è una semplificazione necessaria, in realtà il getto di materiale dalla ruota deve avere anche una componente radiale dovuta all'accelerazione centrifuga, altrimenti non verrebbe espulso dai tasselli.

@FranZeta

Stavo cercando di rispondere al tuo post e a quello di Cum Grano Salis, ma mi hai anticipato con quest'ultimo post, molto esplicativo e davvero molto ben fatto, complimenti. Potrei chiederti di riprodurrre gli ultimi 3 grafici in regime di moto traslatorio con v=2,5 m/s (come l'immagine sotto per intenderci)?